數學教育之目的為引領學生進入數學世界無可置疑，但甚麼是數學呢？正如學生學習固然需要不斷反思，教師專業成長也一樣，不信奉權威，不斷提出問題，從多角度印證恐怕是必經之路。對於數學的本質和衍生的學習過程，有許多問題是可以引起反思的。
數學家的世界
「數學是甚麼」的一個參考點是：數學工作者（數學家）是怎樣做數學（處理數學問題）的，但是我們只有一種數學家嗎？不同數學家數學思維模式會否不同？他們處理不同數學問題時會否有不同的策略和取向？數學家是否一定用符號化、抽象化的方式做數，一定不會用低年級（學習初段）諸如動手、實物、圖像等思維手段呢？
我們還可以探討嚴謹數學與合理揣測如何相互產生作用？也許有時我們過於把數學家「偶像化」，認為他們一定有一套學校數學可用跟循的指導思想？
只有一種數學？
荷蘭著名數學教育家Freudental① 提出數學很可能是眾數（plural），是甚麼意思呢？他特別提到數學包含代數和幾何（數和形）。這回應了上段的一些觀點，究竟數學是不同部門的集體還是存在一個總體而分成不同的分支？又，要甚麼條件才能算是數學的一個分支？
數學教育家Ernest② 提出有人抱着數學是一套顛撲不破真理（absolutism）的誤解，並提出數學反而應是「準實證」（quasi-empirical）的，意味着數學並非一些人想像的那麼固定。事實上，在較早時，Wilder③ 從數學歷史發展的分析指出數學是一種人類文化，會因時地而異。他甚至提出一些古代人認定是數學的東西，後來排出數學之外。那末，作為數學化過程「終點」的數學既然亦在挪移當中，我們對數學化過程的理解是否也不像一些人想像般那麼鐵板一塊呢？
數學歷史學家李約瑟Needham④ 亦提到我們往往用西方視角理解古代中國數學。例如認為中國數學沒有西方式的嚴格證明。我們現時的數學教學是否有偏側之嫌？現時的數學教育也有文化差異／壟斷嗎？
從另一個角度，研究 IT（資訊科技）數學多年的Artique⑤ 提出歷史上，數學本身向來受制於當時的符號工具（symbolic tool）所界定。亦有人提出動手數學 IT 數學與一般人眼中的所謂「主流數學」有所不同⑥。這對我們了解數學本質有再多一重的意義。
符號化的數學
無論怎麼說，符號化、形式化、正規化依然是通向高等數學或「圈內人數學」（esoteric mathematics）⑦的跳板，但在何時（初小？高小？初中？高中？）進入抽象數學較為適當？教育心理學家皮亞諧（Piaget）從他的心理實驗中提出一般人在 13、14 歲才進入「形式運思期」，Bell⑧引申於初中前不宜引入抽象數學，數學化過程是否一條由初小到高中（甚至大學）長遠之路呢？
那末，小學就一定沒有抽象概念嗎？它就必不應涉及抽象數學嗎？ ⑨ 在某個角度看，「1」、「2」不已是從1 輛車，1 本書……；2 個人，2 隻貓……中抽象出來嗎？
1960 年代對新數學運動批評之一是太早符號化、形式化，中間的拿揑在哪裏⑩？針對這個問題，筆者曾提出，把x2 – 3x + 2 > 0 的解寫成
x2 – 3x + 2 > 0
<=> (x – 1)(x – 2) > 0
<=> [(x – 1 > 0) ⋀ (x – 2 > 0)] ⋁ [(x – 1 < 0) ⋀ (x – 2 < 0)]
<=> (x – 2 > 0) ⋁ (x – 1 < 0)
<=> (x > 2) ⋁ (x < 1)
故 x2 – 3x + 2 > 0 的解集為{x∈ℝ： x < 1 ⋁ x > 2}
「可以說是把數學裝扮成最嚇人的模樣放在學生面前」⑪。問題是，若用「平實」的語言說出：
求解 x2 – 3x + 2 > 0
即問 (x – 1)(x – 2) 何時為正數
即兩數 (x – 1)、(x – 2) 同時負或同時正
亦即 (x 既是 < 1 亦 < 2) 又或 (x 既 > 1 亦 > 2)
換言之， x < 1 或 x > 2
又或用表解、圖解，難道這些做法數學意味是否真的減弱了？
如果我們認為數學味道沒有減弱了，我們仍可以問，到更複雜的處境如
由「二次不等式解」到「三、四次不等式解」
由「1 + 2 + 3 + ... + 100」到「∑nr=1r」
由平面幾何到 n 維空間
到這些抽象處境，我們已無法用實物或畫圖了，那末，哪些數學技巧、思維方式和表示方式仍可延續？不能延續的是否代表不值得學嗎？
數學理解、概念和做數
「數學理解」就是數學定義⑫ 和概念嗎？以除法為例，對除法的理解是分物、包含、連減、乘的逆還是bx = a 的解？還有那些理解？單一數學概念究竟包含多少個度向⑬ ？人認識一個數學概念時是逐個度向的認識還是整體的了解？這些度向是否只是一種學理分析？它對實際教學佈置有多大啟示？
如果數學化過程是由現實生活過渡到符號化的「人造物」，又如何能反過來為這些「人造物」賦與意義（make sense）從而能把數學應用到解決現實問題？
用「最速策略」（fastest strategy）⑭（所謂機械性運算）是否一定等於不求甚解？概念與做數起着些什麼關係⑮⑯ ？不少數學教育家如Sfard 等從研究中結論出運算法則是概念的一部分⑰，Tall 提出 procept⑱（Procedure + Concept）的想法。Star 更提出深層程序⑲。言下之意，程序也可以具有深層次的。
有數學家提出數學發明（invention）同時需要嚴密的論證和想像力⑳，學生學習數學是否也同時需要歸納（search for pattern）與演繹？兩者是否有先後次序（先歸納後演繹）還是互相交織呢？學生又是否必須先把概念攪得清清楚楚後做數？如果是的話，一個概念又有哪麼多度向（以上面除法為例），甚麼時候才可進行計算（做數）？
以上許多問題，尤其涉及學生的，很可能沒有確切答案，因為教學並非科學這麼簡單，不敢馬上說它是一種藝術，起碼有着藝術的成分。因為教學總是要「應時」、「應機」和「應境」。教學又往往和向電腦輸入程式不同，並不是按照知識結構邏輯性地逐步學習就可以。學生每每需要兜兜轉轉來認識、深化。這也可能是教學中藝術之所在、挑戰之所在、和趣味之所在。
① “‘Mathematics’ looks like a plural as it still is in French ‘Les
Mathématiques’. Indeed, long ago it meant a plural …” (p.1).
Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education,
Chapter 1: Mathematics phenomenolgically (pp. 1-44). Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers.
② Ernest, P. (Ed.) (1991). The philosophy of mathematics education.
Hamsphire: The Falmer Press.
③ Wilder, R .L. (1952). An introduction to the foundations of
mathematics. New York: John Wiley & Sons.
④ Needham, J. (with the collaboration of Wang Ling). (1959). Science
and civilization in China. Volume 3: Mathematics and the
sciences of the heavens and the earth. Cambridge: Cambridge University
Press.
⑤ Artigue, M. (2001). Learning mathematics in a CAS environment:
The genesis of a reflection about instrumentation and the dialectics
between technical and conceptual work. Paper presented at the
CAME meeting, Utrecht, July 2001. 又見 Wong, N. Y. (2003). The influence
of technology on the mathematics curriculum. In A. J. Bishop, M. A.
Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick, & F. K. S. Leung (Eds.). Second
International Handbook of Mathematics Education, Volume 1 (pp.
271-321). Kluwer Academic Publishers. ⑥ 更確切地，歐氏幾何和互動幾何Dynamic Geometry:Lopez-real,
F., & Leung, A. (2006). Dragging as a conceptual tool in dynamic geometry
environments. International Journal of Mathematical Education
in Science and Technology, 37(6), 665-679.
⑦ Cooper, B., & Dunne, M. (1998). Anyone for tennis? Social class
differences in children’s responses to National Curriculum Mathematics
Testing. The Sociological Review, 46(1), 115-148.
⑧ Bell, F. H. (1978). Teaching and learning mathematics (in secondary
schools). Dubuque, Iowa: Wm. C. Brown.
⑨ Wong, N. Y. (2007). Hong Kong teachers’ views of effective mathematics
teaching and learning. ZDM – The International Journal on Mathematics
Education, 39(4), 301-314.
⑩ 梁鑑添（1980）。評論近二十年來中學數學課程改革。《抖擻》38 期，64-75，83。後載《抖擻》編輯委員會（1981）。《香港數學教育論叢》（頁44-56）。又載蕭文強（1995）（編）。《香港數學教育的回顧與前瞻》（頁31-56）。香港：香港大學出版社。
⑪ 黃毅英（1995）。 普及教育期與後普及教育期的香港數學教育。載蕭文強（編），《香港數學教育的回顧與前瞻》（頁69-87）。香港: 香港大學出版社。頁76。當時用的例稍有不同。
⑫ 黃毅英（2012）。追尋定義之路。《數學教育》33 期，3-11。
⑬ 黃毅英、張僑平（2014）。數學教學的幾個最基本問題：做數、概念與理解。《學校數學通訊》。18 期, 1-18。
⑭ Kerkman, D. D., & Siegel, R. S. (1997). Measuring individual differences
in children’s addition strategy choices. Learning and Individual
Differences, 9(1), 1-18.
⑮ 黃毅英、陳葉祥、張僑平（2013）。數學教材中的「四基」：以小學立體圖形為例。會議論文宣讀於2013 首都教育論壇 • 教科書研究研討會。2013 年11 月，北京。
⑯ 黃毅英（2007）。數學化過程與數學理解。《數學教育》25 期，2-18。
⑰ Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions:
Reflections on processes and objects as different sides of the same
coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36.
⑱ Tall, D. (1998). Information technology and mathematics education:
Enthusiasms, possibilities and realities. Plenary lecture, Eighth
International Congress on Mathematical Education, Seville, Spain,
14-21 July 1996. In C. Alsina, J. M. Alvarez, M. Niss, A. Pérez, L.
Rico, & A. Sfard (Eds.), Proceedings of the 8th International
Congress on Mathematical Education (pp.65-82). Sevilla, Spain:
Sociedad Andaluza de Educación Matemática “Thales”. 又見 Wong, N. Y.
(2003). The influence of technology on the mathematics curriculum.
In A. J. Bishop, M. A. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick, & F. K.
S. Leung (Eds.). Second International Handbook of Mathematics
Education, Volume 1 (pp. 271-321). Kluwer Academic Publishers.
⑲ Star, J. R. (2005). Reconceptualizing procedural knowledge. Journal
for Research in Mathematics Education, 36(5), 404 − 411.
⑳ 「數學發明的原動力是想象力而非推理。」（DeMorgan）
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