「九因歌」大家都恐怕聽過了， 小時候的算術簿背後往往附印着它。當時就像兒歌的唸「一一如一，一二如二⋯⋯三五一十五⋯⋯」，不太困難地（當然也不算容易）「乘數表」就這麼背下來了。
最近有小學數學老師問：「究竟是『三五一十五』還是『三五得一十五』呢？甚至應為『三乘五得一十五』？」
在大家想想應如何回應時，讓我先講一個關於王勃的故事，是我的小學老師告訴我的。「滕王閣序」的作者王勃（650
－ 676）英年早逝，因此陰魂不散，入夜時於野外經常背誦其名句「落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色」。村民也沒他辦法，直至一天，有一秀才路過聽後說：「哪用這麼囉嗦？『落霞孤鶩齊飛，秋水長天一色』不是好了嗎？」王勃的鬼魂自此收了聲云云。
中國人的口訣歌訣很多，數學中亦有不少。如著名的《孫子算經》「物不知其數」1，其解答就有這樣的一個歌訣：「三歲孩兒七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相會，寒食清明便可知」2。其後明代數學家程大位的《算法統宗》亦出現另一版本3。
珠算亦有歌訣。我小時學珠算就要念「三歸」（除以三）：「三一三剩一， 逢三進一⋯⋯」，我至今仍然記得清楚。針灸有歌訣，拳術也有⋯⋯。甚至有學者認為這是華人數學的其中一個優勢4，例如據說英語授課學校是唸「three
times five is fifteen」。於是乎學生記住（死背也好，透過理解記得也好）乘數表就沒那麼方便5。
歌訣就（只）是一種縮寫， 最主要的考慮點是朗朗上口，最好押韻。改成「三五得一十五」又或「三乘五得一十五」就失去歌訣的意思了。
那麼，歌訣是否就等於死記硬背嗎？這就看你如何用它了。例如「物不知其數」，可以想像箇中的歌訣不可能是用來理解的，只是學會正解後附以一首詩去加深記憶罷了。年青時學針灸唸「馬丹陽天星十二歌訣」6
也是這樣，不可能靠歌訣學會穴位（更不要說針法了）。老師是教某個穴位（如「足三里」穴）的位置、經脈、作用、配穴⋯⋯最後只是用歌訣綜合了，以加深記憶。
成語也是一樣， 例如一說到「破釜沉舟」，整個項羽鉅鹿之戰的畫面就出來了。也許類似心理學所說的「組塊」（chunking）。Miller
1956 年的經典著作〈神秘的「7」，正負二〉7 一文中指出一般人的短期記憶只可記得七個字（頂多到九個），但透過「組塊」，多於七個的資料就可「打包」成少於七個的組合加以記住。成語有可能起著類似的作用。
這個小故事可以帶來教學上不少啟示。首先，我們不應兩極化地看待問題，例如「概念」與「做數」往往是相輔相成的事，不一定先把概念完全掌握好再去「做數」（問題解決），也不會先做好數再慢慢理解。學習者總是理解一點、做一點數加深理解，深入了的理解可令人再做更深層次的數8。
此外，「記得」（having ... remembered）和「牢記」有着微妙的差別9。我們往往記得許多東西，如別人的名字、樣貌等，我們不一定用死記硬背的方式去記得。在豐富和相關（relevant）的情境下，往往就能自然而然地把東西記起來。這是大部分人都有過的經驗。透過考察一些規律（如「乘九」每次減一等），乘數表可以記得更加輕鬆。透過做數，一些公式亦會在做數的過程中記得起來。
所謂概念性理解和程序性理解也並不對立。現時學術正在探討「深層程序」的觀念10，正如上面的歌訣、口訣，
甚至簡單如乘數表，在記得的過程中也可以做到不至於不求甚解，從中了解乘法的許多性質（如交換性質，甚至整除性測試等）。
最重要的反思是，老師在執行一個教學行動時，無論它來自課程、教科書還是其他材料，只要我們能花點功夫考究這件事背後的數學和教學理念，我們一定能把意念「活化」，把教學變得有意義（make
sense），不致照本宣科11。
當然，以上問題還有不少討論空間，但我們可以看到，正如蕭文強教授常常勸人「處處留心皆學問」12，只要我們不老是追求快速答案，事事深究下去就可探討出許多道理來。
1 「今有物，不知其數，三三數之，剩二， 五五數之剩三， 七七數之，剩二，問物幾何？」
2 宋·周密《志雅堂雜抄》。
3 「三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知。」
4 張奠宙（1993），〈華人地區數學教育的成功與不足〉，載林智中、黃顯華、馮以浤（編）《 東南亞華人社會的課程改革：二十一世紀的挑戰國際研討會論文集》（頁93–95）。香港：香港中文大學課程與教學學系。
5 http://www.mathlearningcenter.org/resources/gene/archive/those_times_tables
Sousa, D. A. (2008). How the brain learns mathematics . Thousand
Oaks, California: Crown Press.
6 http://www.zysj.com.cn/lilunshuji/zhenjiudacheng/1043-6-10.html
7 Miller, G. A. (1956).The magical number seven, plus or minus two:
Some limits on our capacity for processing information. Psychological
Review , 63(2), 81–97.
8 黃毅英（2010）。《數學教育實地觀察》（合訂本）。香港：香港數學教育學會。
9 Cai, J., Perry, B., Wong, N. Y., & Wang, T. (2009). What is
effective teaching? A study of experienced mathematics teachers from
Australia, the Mainland China, Hong Kong – China, and the United States.
In J. Cai, G. Kaiser, B. Perry, & N. Y. Wong (Eds.), Effective
mathematics teaching from teachers’ perspectives: National and cross-national
studies (pp. 1- 36). Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers.
10 黃毅英（2007）。數學化過程與數學理解。《數學教育》25 期，2-18。
11 黃毅英、張僑平（2013）。「華人（數學）學習者現象」：回顧、反思與前瞻。《全球教育展望》42 卷5 期，14-25。
12 陳鳳潔、蕭文強、黃毅英（1994），〈教（學）無止境：數學學養教師的成長〉，載林智中、韓孝述、何萬貫、文綺芬、施敏文（編）《香港課程改革：新時代的需要研討會論文集》（頁53-56）。香港：香港中文大學課程與教學學系；後載黃毅英（編）（2005），《迎接新世紀：重新檢視香港數學教育──蕭文強教授榮休文集》（頁38-45）。香港：香港數學教育學會。 |